1.) Bilangan Asli
Bilangan Asli
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 sampai Seterusnya atau himpunan bilangan bulat positif yang tidak termasuk
Angka 0.
Bilangan asli dapat digolongkan menurut faktornya yaitu:
Bilangan genap
Bilangan ganjil
Bilangan Primer
Pengertian lain dari bilangan asli adalah dasar dan Jenis perhitungan yang dimulai dari angka 1.
Sejarah Bilangan Asli
Bilangan asli mempunya asal dari kata-kata yang digunakan untuk Menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan Satu (1).
Para pandai matematika menggunakan ℕ untuk menulis seluruh Himpunan bilangan asli. Bilangan ini dapat dituturkan tidak terbatas.
Bilangan asli ini bisa dihitung dan umumnya digunakan untuk Penghitungan matematika maupun Perhitungan lainnya.
Himpunan bilangan asli tidak mengikut sertakan bilangan negatif atau nol (0) dalam himpunannya.
2.) Bilangan Nol
Bilangan nol adalah bilangan yang memiliki arti kosong atau tidak ada objek apapun.
Bilangan nol adalah bilangan yang istimewa. Setiap angka yang dikalikan nol akan menghasilkan nol.
Bilangan nol dilambangkan dengan angka 0.
Bilangan nol tidak hanya habis dibagi dua, bilangan nol juga habis dibagi oleh setiap pangkat dua (²). Oleh karena itu nol termasuk angka genap.
Sejarah Bilangan Nol
Bilangan nol pertama kali ditemukan oleh Al Khawarizmi atas peranannya dalam sistem komputasi dan sistem penempatan bilangan.
Penjelasan ini ada didalam buku Al-Khawarizmi, Al-Jabr, dan Al-Muqalabah dan ditemukan pada tahun 773 M.
Dalam buku tersebut dijelaskan, angka nol merupakan bagian dari angka Arab yang didasari oleh sistem bilangan di India.
3.) Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah gabungan bilangan nol dan bilangan asli. Sehingga bilangan cacah adalah bilangan bulat dari 0 ke bilangan bulat positif dari satu hingga tidak terhingga.
Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif. Bilangan cacah dikenali pada bilangan-bilangan yang membentuk himpunan.
Bilangan ini tertutup untuk penjumlahan dan perkalian.
Bilangan cacah dilambangkan dengan huruf 𝕎.
Sifat-sifat bilangan cacah yaitu, Sifat Komutatif, Sifat Asosiatif, dan Sifat Distributif.
Sejarah Bilangan Cacah
sekitar abad kedelapan seorang matematikawan muslim dari negeri persia yang bernama Al-Khawarizmi menyempurnakan sistem ini dengan memperkenalkan bilangan NOL , sehingga menjadi bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang kemudian disebut sebagai BILANGAN CACAH.
4.) Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.
Posisi bilangan bulat positif adalah di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif di bagian kiri nol.
Untuk menentukan bilangan bulat, kita bisa melihat garis bilangan bulat nya.
____________--_________
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Bilangan bulat disimbolkan dengan huruf ℤ.
Sejarah Bilangan Bulat
Tahun 1890, matematikawan Jepang bekerja pada bilangan itu dan meyebutkkan sebagai Bilangan Bulat (integers).
Dalam operasi bilangan bulat dibagi lagi berdasarkan sifat-sifanya, ada tiga sifat yaitu komutatif (pertukaran), asosiatif (pengelompokan), dan distributif (penyebaran).
5.) Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan merupakan bentuk yang lain suatu bilangan pada ilmu matematika, dinyatakan menjadi a/b,a adalah pembilang, b adalah penyebut dengan a, b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0.
Untuk pecahan, kebalikannya merupakan pecahan yang berbeda, yaitu dengan angka-angka yang “dibalik” (invers). Misalnya, kebalikan dari 3/4 adalah 4/3.
Angka berapa pun jika dikalikan dengan kebalikannya akan menghasilkan 1.
Pecahan biasa hanya terdiri dari dua komponen yaitu pembilang dan penyebut. Sedangkan pecahan campuran terdiri dari tiga komponen : pembilang, penyebut dan satu bilangan pengali.
Pecahan terbagi 4, yaitu:
1.) Pecahan Biasa
2.) Pecahan Campuran
3.) Desimal
4.) Persen
Sejarah Bilangan Pecahan
perkembangan bilangan pecahan tertua mungkin dimulai di Mesir Kuno. Pada peradaban Mesir Kuno, pecahan dilambangkan dengan pecahan satuan 1 𝑛 , n bilangan asli.
Penulisan pecahan menggunakan huruf hieroglif, dengan lingkaran di atas dan angka di bawahnya.
Sistem bilangan desimal adalah sistem standar yang melambangkan bilangan bulat dan bukan bilangan bulat.
Capaian Dan Tujuan
Elemen Capaian
- Bilangan/Bilangan Bulat
Tujuan Pembelajaran
Dengan menggunkan model pembelajaran PBL peserta didik diharapkan dapat •
- Menterjemahkan masalah kontekstual yang memuat bilangan bulat kedalam operasi hitung bilangan bulat.
- Menyelesaikan masalah kontekstual yang pada bilangan bulat
Acuan Alur Tujuan Pembelajaran (ATP)
Lihat Dokumen ATP
Profil Pelajar Pancasila
- Bernalar Kritis
- Mandiri
- Gotong Royong
- Kreatif
Dimensi & Elemen
Beriman, Bertakwa Kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan Berakhlak Mulia
Akhlak beragama
Fase D
Mengenal dan Mencintai Tuhan Yang Maha Esa
Memahami kehadiran Tuhan dalam kehidupan sehari-hari serta mengaitkan pemahamannya tentang kualitas atau sifat-sifat Tuhan dengan konsep peran manusia di bumi sebagai makhluk Tuhan yang bertanggung jawab.
Pemahaman Agama/ Kepercayaan
Memahami makna dan fungsi, unsur-unsur utama agama /kepercayaan dalam konteks Indonesia, membaca kitab suci, serta memahami ajaran agama/ kepercayaan terkait hubungan sesama manusia dan alam semesta.
Pelaksanaan Ritual Ibadah
Melaksanakan ibadah secara rutin dan mandiri sesuai dengan tuntunan agama/kepercayaan, serta berpartisipasi pada perayaan hari-hari besarnya
Akhlak Pribadi
Fase D
Integritas
Berani dan konsisten menyampaikan kebenaran atau fakta serta memahami konsekuensi-konsekuensinya untuk diri sendiri dan orang lain
Merawat Diri secara Fisik, Mental, dan Spiritual
Mengidentifikasi pentingnya menjaga keseimbangan kesehatan jasmani, mental, dan rohani serta berupaya menyeimbangkan aktivitas fisik, sosial dan ibadah.
Akhlak kepada manusia
Fase D
Mengutamakan persamaan dengan orang lain dan menghargai perbedaan
Mengenal perspektif dan emosi/perasaan dari sudut pandang orang atau kelompok lain yang tidak pernah dijumpai atau dikenalnya. Mengutamakan persamaan dan menghargai perbedaan sebagai alat pemersatu dalam keadaan konflik atau perdebatan.
Berempati kepada orang lain
Memahami perasaan dan sudut pandang orang dan/atau kelompok lain yang tidak pernah dikenalnya.
Akhlak kepada alam
Fase D
Memahami Keterhubungan Ekosistem Bumi
Memahami konsep sebab-akibat di antara berbagai ciptaan Tuhan dan mengidentifikasi berbagai sebab yang mempunyai dampak baik atau buruk, langsung maupun tidak langsung, terhadap alam semesta.
Menjaga Lingkungan Alam Sekitar
Mewujudkan rasa syukur dengan berinisiatif untuk menyelesaikan permasalahan lingkungan alam sekitarnya dengan mengajukan alternatif solusi dan mulai menerapkan solusi tersebut.
Akhlak bernegara
Fase D
Melaksanakan Hak dan Kewajiban sebagai Warga Negara Indonesia
Menganalisa peran, hak, dan kewajiban sebagai warga negara, memahami perlunya mengutamakan kepentingan umum di atas kepentingan pribadi sebagai wujud dari keimanannya kepada Tuhan YME.
Berkebinekaan Global
Mengenal dan menghargai budaya
Fase D
Mendalami budaya dan identitas budaya
Menjelaskan perubahan budaya seiring waktu dan sesuai konteks, baik dalam skala lokal, regional, dan nasional. Menjelaskan identitas diri yang terbentuk dari budaya bangsa.
Mengeksplorasi dan membandingkan pengetahuan budaya, kepercayaan, serta praktiknya
Memahami dinamika budaya yang mencakup pemahaman, kepercayaan, dan praktik keseharian dalam konteks personal dan sosial.
Menumbuhkan rasa menghormati terhadap keanekaragaman budaya
Memahami pentingnya melestarikan dan merayakan tradisi budaya untuk mengembangkan identitas pribadi, sosial, dan bangsa Indonesia serta mulai berupaya melestarikan budaya dalam kehidupan sehari-hari.
Komunikasi dan interaksi antar budaya
Fase D
Berkomunikasi antar budaya
Mengeksplorasi pengaruh budaya terhadap penggunaan bahasa serta dapat mengenali risiko dalam berkomunikasi antar budaya.
Mempertimbangkan dan menumbuhkan berbagai perspektif
Menjelaskan asumsi-asumsi yang mendasari perspektif tertentu. Membayangkan dan mendeskripsikan perasaan serta motivasi komunitas yang berbeda dengan dirinya yang berada dalam situasi yang sulit.
Refleksi dan bertanggung jawab terhadap pengalaman kebinekaan
Fase D
Refleksi terhadap pengalaman kebinekaan
Merefleksikan secara kritis gambaran berbagai kelompok budaya yang ditemui dan cara meresponnya.
Menghilangkan stereotip dan prasangka
Mengkonfirmasi, mengklarifikasi dan menunjukkan sikapmenolak stereotip serta prasangka tentang gambaran identitas kelompok dan suku bangsa.
Menyelaraskan perbedaan budaya
Mengidentifikasi dan menyampaikan isu-isu tentang penghargaan terhadap keragaman dan kesetaraan budaya.
Berkeadilan Sosial
Fase D
Aktif membangun masyarakat yang inklusif, adil, dan berkelanjutan
Mengidentifikasi masalah yang ada di sekitarnya sebagai akibat dari pilihan yang dilakukan oleh manusia, serta dampak masalah tersebut terhadap sistem ekonomi, sosial dan lingkungan, serta mencari solusi yang memperhatikan prinsip-prinsip keadilan terhadap manusia, alam dan masyarakat
Berpartisipasi dalam proses pengambilan keputusan bersama
Berpartisipasi dalam menentukan kriteria dan metode yang disepakati bersama untuk menentukan pilihan dan keputusan untuk kepentingan bersama melalui proses bertukar pikiran secara cermat dan terbuka dengan panduan pendidik
Memahami peran individu dalam demokrasi
Memahami konsep hak dan kewajiban serta implikasinya terhadap ekspresi dan perilakunya. Mulai aktif mengambil sikap dan langkah untuk melindungi hak orang/kelompok lain.
Bergotong-Royong
Kolaborasi
Fase D
Kerja sama
Menyelaraskan tindakan sendiri dengan tindakan orang lain untuk melaksanakan kegiatan dan mencapai tujuan kelompok di lingkungan sekitar, serta memberi semangat kepada orang lain untuk bekerja efektif dan mencapai tujuan bersama.
Komunikasi untuk mencapai tujuan bersama
Memahami informasi, gagasan, emosi, keterampilan dan keprihatinan yang diungkapkan oleh orang lain menggunakan berbagai simbol dan media secara efektif, serta memanfaatkannya untuk meningkatkan kualitas hubungan interpersonal guna mencapai tujuan bersama.
Saling-ketergantungan positif
Mendemonstrasikan kegiatan kelompok yang menunjukkan bahwa anggota kelompok dengan kelebihan dan kekurangannya masing-masing perlu dan dapat saling membantu memenuhi kebutuhan.
Koordinasi Sosial
Membagi peran dan menyelaraskan tindakan dalam kelompok serta menjaga tindakan agar selaras untuk mencapai tujuan bersama.
Kepedulian
Fase D
Tanggap terhadap lingkungan Sosial
Tanggap terhadap lingkungan sosial sesuai dengan tuntutan peran sosialnya dan berkontribusi sesuai dengan kebutuhan masyarakat.
Persepsi sosial
Menggunakan pengetahuan tentang sebab dan alasan orang lain menampilkan reaksi tertentu untuk menentukan tindakan yang tepat agar orang lain menampilkan respon yang diharapkan.
Berbagi
Fase D
#N/A
Mengupayakan memberi hal yang dianggap penting dan berharga kepada masyarakat yang membutuhkan bantuan di sekitar tempat tinggal
Mandiri
Pemahaman diri dan situasi yang dihadapi
Fase D
Mengenali kualitas dan minat diri serta tantangan yang dihadapi
Membuat penilaian yang realistis terhadap kemampuan dan minat , serta prioritas pengembangan diri berdasarkan pengalaman belajar dan aktivitas lain yang dilakukannya.
Mengembangkan refleksi diri
Memonitor kemajuan belajar yang dicapai serta memprediksi tantangan pribadi dan akademik yang akan muncul berlandaskan pada pengalamannya untuk mempertimbangkan strategi belajar yang sesuai.
Regulasi Diri
Fase D
Regulasi emosi
Memahami dan memprediksi konsekuensi dari emosi dan pengekspresiannya dan menyusun langkah-langkah untuk mengelola emosinya dalam pelaksanaan belajar dan berinteraksi dengan orang lain.
Penetapan tujuan belajar, prestasi, dan pengembangan diri serta rencana strategis untuk mencapainya
Merancang strategi yang sesuai untuk menunjang pencapaian tujuan belajar, prestasi, dan pengembangan diri dengan mempertimbangkan kekuatan dan kelemahan dirinya, serta situasi yang dihadapi.
Menunjukkan inisiatif dan bekerja secara mandiri
Mengkritisi efektivitas dirinya dalam bekerja secara mandiri dengan mengidentifikasi hal-hal yang menunjang maupun menghambat dalam mencapai tujuan.
Mengembangkan pengendalian dan disiplin diri
Berkomitmen dan menjaga konsistensi pencapaian tujuan yang telah direncanakannya untuk mencapai tujuan belajar dan pengembangan diri yang diharapkannya
Percaya diri, tangguh (resilient), dan adaptif
Membuat rencana baru dengan mengadaptasi, dan memodifikasi strategi yang sudah dibuat ketika upaya sebelumnya tidak berhasil, serta menjalankan kembali tugasnya dengan keyakinan baru.
Bernalar Kritis
Memperoleh dan memproses informasi dan gagasan
Fase D
Mengajukan pertanyaan
Mengajukan pertanyaan untuk klarifikasi dan interpretasi informasi, serta mencari tahu penyebab dan konsekuensi dari informasi tersebut.
Mengidentifikasi, mengklarifikasi, dan mengolah informasi dan gagasan
Mengidentifikasi, mengklarifikasi, dan menganalisis informasi yang relevan serta memprioritaskan beberapa gagasan tertentu.
Menganalisis dan mengevaluasi penalaran dan prosedurnya
Fase D
#N/A
Membuktikan penalaran dengan berbagai argumen dalam mengambil suatu simpulan atau keputusan.
Refleksi pemikiran dan proses berpikir
Fase D
Merefleksi dan mengevaluasi pemikirannya sendiri
Menjelaskan asumsi yang digunakan, menyadari kecenderungan dan konsekuensi bias pada pemikirannya, serta berusaha mempertimbangkan perspektif yang berbeda.
Kreatif
Menghasilkan gagasan yang orisinal
Fase D
#N/A
Menghubungkan gagasan yang ia miliki dengan informasi atau gagasan baru untuk menghasilkan kombinasi gagasan baru dan imajinatif untuk mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya.
Menghasilkan karya dan tindakan yang orisinal
Fase D
#N/A
Mengeksplorasi dan mengekspresikan pikiran dan/atau perasaannya dalam bentuk karya dan/atau tindakan, serta mengevaluasinya dan mempertimbangkan dampaknya bagi orang lain
Memiliki keluwesan berpikir dalam mencari alternatif solusi permasalahan
Fase D
#N/A
Menghasilkan solusi alternatif dengan mengadaptasi berbagai gagasan dan umpan balik untuk menghadapi situasi dan permasalahan
Bersambung.....
"Alon-Alon mas sambil belajar lirik kiri kanan dari guru hebat yang sudah melakukan lebih awal"
Ingat Modul Ajar yang lengkap ada 16 Komponen tapi namanya merdeka belajar sesuaikan aja. Merdeka !!!
TUJUAN PEMBELAJARAN (TP) MATEMATIKA FASE D
(JENJANG SMP KELAS VII)
| A. | Capaian Pembelajaran Fase D |
| Pada akhir fase D, peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual peserta didik dengan menggunakan konsep-konsep dan keterampilan matematika yang dipelajari pada fase ini. Mereka mampu mengoperasikan secara efisien bilangan bulat, bilangan rasional dan irasional, bilangan desimal, bilangan berpangkat bulat dan akar, bilangan dalam notasi ilmiah; melakukan pemfaktoran bilangan prima, menggunakan faktor skala, proporsi dan laju perubahan. Mereka dapat menyajikan dan menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel dan sistem persamaan linier dengan dua variabel dengan beberapa cara, memahami dan menyajikan relasi dan fungsi. Mereka dapat menentukan luas permukaan dan volume bangun ruang (prisma, tabung, bola, limas dan kerucut) untuk menyelesaikan masalah yang terkait, menjelaskan pengaruh perubahan secara proporsional dari bangun datar dan bangun ruang terhadap ukuran panjang, luas, dan/atau volume. Mereka dapat membuat jaring-jaring bangun ruang (prisma, tabung, limas dan kerucut) dan membuat bangun ruang tersebut dari jaring-jaringnya. Mereka dapat menggunakan sifat-sifat hubungan sudut terkait dengan garis transversal, sifat kongruen dan kesebangunan pada segitiga dan segiempat. Mereka dapat menunjukkan kebenaran teorema Pythagoras dan menggunakannya. Mereka dapat melakukan transformasi geometri tunggal di bidang koordinat Kartesius. Mereka dapat membuat dan menginterpretasi diagram batang dan diagram lingkaran. Mereka dapat mengambil sampel yang mewakili suatu populasi, menggunakan mean, median, modus, range untuk menyelesaikan masalah; dan menginvestigasi dampak perubahan data terhadap pengukuran pusat. Mereka dapat menjelaskan dan menggunakan pengertian peluang, frekuensi relatif dan frekuensi harapan satu kejadian pada suatu percobaan sederhana. |
| B. | Capaian Pembelajaran | |
| No. | Elemen | Capaian Pembelajaran Elemen |
| 1. | Bilangan | Di akhir fase D, peserta didik dapat membaca, menulis, dan membandingkan bilangan bulat, bilangan rasional dan irasional, bilangan desimal, bilangan berpangkat bulat dan akar, bilangan dalam notasi ilmiah. Mereka dapat menerapkan operasi aritmetika pada bilangan real, dan memberikan estimasi/perkiraan dalam penyelesaikan masalah (termasuk berkaitan dengan literasi finansial). Peserta didik dapat menggunakan faktorisasi prima dan pengertian rasio (skala, proporsi, dan laju perubahan) dalam penyelesaian masalah. |
| C. | Penurunan Capaian PembelajaranMenjadi Tujuan Pembelajaran |
| 1. Elemen Bilangan | |
| Di akhir fase D, peserta didik dapat membaca, menulis, dan membandingkan bilangan bulat, bilangan rasional dan irasional, bilangan desimal, bilangan berpangkat bulat dan akar, bilangan dalam notasi ilmiah. Mereka dapat menerapkan operasi aritmetika pada bilangan real, dan memberikan estimasi/perkiraan dalam penyelesaikan masalah termasuk berkaitan dengan literasi finansial).Peserta didik dapat menggunakan faktorisasi prima dan pengertian rasio (skala, proporsi, dan laju perubahan) dalam penyelesaian masalah. |
| No. | Sub Elemen | Kls/Smt | Kompetensi | Konten | Tujuan Pembelajaran |
1.1 | Bilangan Bulat dan Desimal | 7/1 | 1. membaca 2. menulis 3. memahami 4. membandingkan 5. menggunakan 6. menerapkan | 1. bilangan bulat 2. bilangan desimal 3. faktorisasi prima | 1. Peserta didik dapat memahami dan membandingkan bilangan bulat 2. Peserta didik dapat menerapkan bilangan bulat pada operasi penjumlahan dan pengurangan 3. Peserta didik dapat menerapkan bilangan bulat pada operasi perkalian dan pembagian 4. Peserta didik dapat menggunakan foktorisasi prima pada pemecahan masalah terkait dengan KPK dan FPB 5. Peserta didik dapat memahami dan membandingkan bilangan desimal 6. Peserta didik dapat menerapkan bilangan desimal pada operasi penjumlahan dan pengurangan 7. Peserta didik dapat menerapkan bilangan desimal pada operasi perkalian dan pembagian 8. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan bilangan bulat dan desimal |
MATERI KELAS 7
SEMESTER 1
- Bilangan Bulat dan Desimal
- Aljabar
- PLSV dan PtLSV
- Perbandingan
SEMESTER 2
- Aritmetika Sosial
- Garis dan Sudut
- Penyajian Data
Panduan pelaksanaan Kurikulum Merdeka
- Bilangan_Prima.pptx
- bilangan bulat dan pecahan.pptx
- bilangan-berpangkat-dan-bentuk-akar-9.doc
- bilangan berpangkat.docx
- bilangan pecahan.docx
- BILANGAN.zip
- BILANGAN BULAT project.pptx
- bilangan baku.pptx
- sistem-bilangan.ppt
- Kapita Selekta Pembelajaran Bilangan
Simak juga : Suhu: Pengertian, Alat Ukur, Satuan, dan Rumusnya
Simak Juga Video Penjelasan : Hasil Karya siswa Bilangan Pecahan
1.Bilangan asli:Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb.
Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma PeanoDalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peanodefinisi dari himpunan bilangan asli , dilambangkan . Dari aksioma- aksioma ini, aritmatika Peano pada bilangan asli dapat diturunkan. (0 adalah bilangan asli)Untuk setiap , ada tepat satu , yang disebut penerus (0 bukan penerus bilangan asli mana pun)jika dan hanya jika ( aksioma induksi ) Jika dan dan menyiratkan , maka .Penerus kadang - kadang dilambangkan sebagai ganti . Aritmatika kacang terdiri dari pernyataan yang diturunkan melalui aksioma ini. Misalnya, dari aksioma ini kita dapat mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada bilangan asli. Penambahan didefinisikan sebagai gayatampilan untuk semuaPenjumlahan yang didefinisikan dengan cara ini kemudian dapat dibuktikan baik asosiatif maupun komutatif .Perkalian adalah tampilan untuk semuaDefinisi perkalian ini juga dapat dibuktikan asosiatif dan komutatif, dan juga dapat ditunjukkan distributif terhadap
1.) Bilangan Asli
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 sampai seterusnya atau himpunan bilangan bulat positif yang tidak termasuk angka 0.
Bilangan asli dapat digolongkan menurut faktornya yaitu: 1.) Bilangan Genap 2.) Bilangan Ganjil 3.) Bilangan Prima
Pengertian lain dari bilangan asli adalah dasar dari segala jenis perhitungan yang dimulai dari angka 1.
Sejarah Bilangan Asli
Bilangan asli mempunyai asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda.
Bilangan asli sudah digunakan oleh warga Babilonia dalam mengembangkan sistem dengan basis posisi 1 hingga 10.
Selain itu, konon orang Mesir Kuno juga mempunyai sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk angka 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai 1 juta.
Para pandai MTK menggunakan N untuk menuliskan himpunan seluruh bilangan asli. Himpunan ini tidak terbatas
2.) Bilangan Nol
Bilangan nol adalah bilangan yang berarti kosong atau tidak ada objek apapun.
Bilangan nol dilambangkan dengan angka 0. Bilangan nol merupakan angka yang istimewa. Semua bilangan yang dikalikan dengan nol, akan menghasilkan nol.
Sejarah Bilangan Nol
Angka nol pertama kali ditemukan oleh Al Khawarizmi atas peranannya dalam sistem komputasi dan sistem penempatan bilangan.
Penjelasan ini ada dalam buku Al-Khawarizmi, al-Jabr, dan al-Muqabalah pada tahun 773 M. Dalam buku tersebut dijelaskan bahwa angka nol merupakan bagian dari angka Arab yang didasari oleh sistem bilangan di India.
Bilangan nol ditemukan di peradaban Babilonia dan Maya, digunakan untuk menghitung lamanya musim. Para ilmuwan zaman itu menggunakan nol sebagai simbol tidak adanya angka.
Nol berasal dari perujukan bahasa Inggris ke bahasa Italia, kemudian dari bahasa Italia ke bahasa Arab, menunjukkan perjalanan konsep nol yang dibawa Leonardo Pisano.
3.) Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah gabungan bilangan nol dan bilangan asli. Sehingga bilangan cacah adalah bilangan bulat dari 0 ke bilangan bulat positif dari satu hingga tidak terhingga.
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif atau himpunan bilangan asli ditambah 0.
Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif. Bilangan cacah dikenali pada bilangan-bilangan yang membentuk himpunan.
Sifat bilangan cacah yang pertama yaitu tertutup untuk penjumlahan dan perkalian.
Bilangan asli termasuk dalam bilangan cacah. Tapi bilangan cacah belum tentu bilangan asli, sebab ada bilangan nol.
Sejarah Bilangan Cacah
Sekitar abad kedelapan seorang matematikawan muslim dari negeri persia yang bernama Al-Khawarizmi menyempurnakan sistem ini dengan memperkenalkan bilangan NOL , sehingga menjadi bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang kemudian disebut sebagai BILANGAN CACAH.
4.) Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.
Posisi bilangan bulat positif adalah di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif di bagian kiri nol.
Bilangan bulat disimbolkan dengan huruf Z.
Dalam operasi bilangan bulat dibagi lagi berdasarkan sifat-sifanya, ada tiga sifat yaitu komutatif (pertukaran), asosiatif (pengelompokan), dan distributif (penyebaran).
Sejarah Bilangan Bulat
Tahun 1890, matematikawan Jepang bekerja pada bilangan itu dan meyebutkkan sebagai Bilangan Bulat (integers).
5.) Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan merupakan bentuk yang lain suatu bilangan pada ilmu matematika, dinyatakan menjadi a/b.
a adalah pembilang, b adalah penyebut dengan a, b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0.
Macam-macam Bilangan Pecahan adalah sebagai berikut: 1.) Pecahan Biasa, 2.) Pecahan Campuran, 3.) Desimal, 4.) Persen dan Permil.
Untuk pecahan, kebalikannya merupakan pecahan yang berbeda, yaitu dengan angka-angka yang “dibalik” (invers).
Misalnya, kebalikan dari 3/4 adalah 4/3. Angka berapa pun jika dikalikan dengan kebalikannya akan menghasilkan 1.
Pecahan biasa hanya terdiri dari dua komponen yaitu pembilang dan penyebut. Sedangkan pecahan campuran terdiri dari tiga komponen yaitu pembilang, penyebut dan satu bilangan pengali.
Sejarah Bilangan Pecahan
Perkembangan bilangan pecahan tertua mungkin dimulai di Mesir Kuno. Pada peradaban Mesir Kuno, pecahan dilambangkan dengan pecahan satuan 1 𝑛 , n bilangan asli.
Penulisan pecahan menggunakan huruf hieroglif, dengan lingkaran di atas dan angka di bawahnya.
.jpg)
0 Comments
Terimakasih