1. Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyakya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan dengan: aturan penjumlahan, aturan perkalian.
a. Aturan Penjumlahan
Jika ada sebanyak a benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak b benda pada himpuan kedua, dan kedua himpuan itu tidak beririsan, maka jumlah total anggota di kedua himpuan adalah a + b.
Contoh : 1
Jika seseorang akan membeli sebuah sepeda motor di sebuah dealer. Di dealer itu tersedia 5 jenis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki. Dengan demikian orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Contoh : 2
Ibu Alya seorang guru SMK. Ia mengajar kelas XII Akuntansi yang jumlahnya 40 siswa, kelas XII penjualan yang jumlahnya 42 siswa, kelas XII bisnis, yang kumlahnya 45 siswa, maka jumlah siswa yang diajar Ibu Alya adalah 40 + 42 + 45 = 127 siswa.
b. Aturan Perkalian
Pada aturan perkalian ini dapat diperinci menjadi dua, namun keduanya saling melengkapi dan memperjelas. Kedua kaidah itu adalah menyebutkab kejadian satu persatu dan aturan pemngisian tempat yang tersedia.
1) Menyebutkan kejadian satu persatu
Contoh : 1
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa hasil yang berlainan dapat terjadi ?
Penyelesaian :
Dengan diagram pohon diperoleh:
Hasil yang mungkin : G1, G2, G3,G4, G5, G6, A1, A2, A3, A4, A5, A6
Catatan : G1 artinya uang menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 1. Dengan demikian banyaknya cara hasil yang berkaitan dapat terjadi adalah 12 cara.
2) Aturan pengisian tempat yang tersedia
Menentukan banyaknya cara suatu percobaan selalu dapat diselesaikan dengan meyebutkan kejadian satu persatu. Akan tetapi, akan mengalami kesulitan kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau dengan mengalikan.
Contoh 1:
Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana. Berapa cara Alya dapat memakai baju dan celana?
Peyelesaian :
Misalkan kelima baju itu B1, B2, B3, B4, B5 dan ketiga celana itu C1, C2, C3. Hasil yang mungkin terjadi adalah….
C1B1 C1B2 C1B3 C1B4 C1B5
C2B1 C2B2 C2B3 C2B4 C2B5
C3B1 C3B2 C3B3 C3B4 C3B5
Jadi banyaknya cara Alya dapat memakai baju da celana = 15 cara
Langkah diatas dapat diselesaikan dengan:
Baju Celana
Jadi, ada 5 x 3 cara = 15 cara
Contoh 2:
Salma mempunyai 5 baju, 3 celana, 2 sepatu dan 4 topi. Tentukan berapa cara Salma dapat memakainya?
Baju Celana Sepatu Topi
5 cara 3 cara 2 cara 4 cara
Jadi, ada 5 x 3 x 2 x 4 cara = 120 cara.
Secara umum dapat dirumuskan:
Bila tempat pertama dapat diisi n1 cara, tempat kedua dengan n2 cara,…, tempat k dapat diisi nk cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1x n2x…x nk cara
.
Contoh 3:
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun?
a) tanpa pengulangan
b) boleh berulang
Penyelesaian :
a) Tanpa pengulangan
Empat angka berarti ribuan, sehingga diperlukan empat tempat
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
Angka nol (0) tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga yang mungkin angka
1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 6 cara dan tanpa pengulangan maka :
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 x 6 x 5 x 4 = 720 bilangan
b) Pengulangan
Angka nol tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga ada 6 cara, untuk urutan kedua dan seterusnya masing-masing tujuh cara sebab semua angka memungkinkan karena berulang maka diperoleh:
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6 7 7 7
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 x 7 x 7 x 7 = 2058 bilangan
Contoh 4:
Tentukan banyaknya bilangan ganjil yang terdiri tiga angka yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5.
a) Angka tidak berulang
b) Angka boleh berulang
Penyelesaian:
a) Angka tidak berulang
Ratusan Puluhan Satuan
4 3 3
Bilangan yang disusun adalah bilangan ganjil, maka kotak satuan dapat diisi dengan angka 1, 3, dan 5 (3 cara)
Ada syarat angka tidak berulang, maka kotak ratusan bisa diisi dengan 4 cara (karena sudah diambil satu angka), dan kotak puluhan dapat diisi dengan 3 cara.
Jadi banyaknya bilangan = 4 x 3 x 3 bilangan = 36 bilangan
b) Angka boleh berulang
Ratusan Puluhan Satuan
5 5 3
Karena yang disusun bilangan ganjil, maka kotak satuan diisi dengan 3 cara
Angka boleh berulang, maka kotak ratusan dapat diisi angka 1, 2, 3, 4 dan 5 (5 cara) dan kotak puluhan juga 5 cara.
Jadi banyaknya bilangan = 5 x 5 x 3 bilangan
= 75 bilangan
2. Permutasi
Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan berhingga
a. Notasi Faktorial
Untuk masing-masing bilangan bulat positif n,
n! = 𝑛∙(𝑛−1)∙(𝑛−2)∙ ∙ ∙3∙2∙1
Demikian juga, 0! = 1.
b. Notasi nPr
Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan 𝑟≤𝑛, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah
nPr = 𝑛!/(𝑛−𝑟)!
Contoh soal
Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu?
Penyelesaian:
Banyaknya permutasi dari 52 kartu yang diambil 5 pada suatu waktu adalah 52P5, atau
52!/(52−5)!.
52!/(52 − 5)! = 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47 ∙ 46 ⋯ 3 ∙ 2 ∙ 1/47 ∙ 46 ⋯ 3 ∙ 2 ∙ 1
= 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47 = 311.875.200
Ada 311.875.200 permutasi dari pemilihan 5 kartu dari 52 kartu
c. Permutasi dengan Pengulangan
Untuk semua bilangan positif n dan r dengan 𝑟 ≤ 𝑛, banyaknya permutasi
yang berbeda dari n objek, r diantaranya sama, adalah
Secara umum, jika ada r1 objek jenis pertama, r2 objek jenis kedua, dan
seterusnya, ada
𝑛!/𝑟1!𝑟2! ⋯ permutasi dari n objek yang berbeda
1.
Kombinasi
Kombinasi
adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya
Notasi
nCr
Untuk
semua bilangan positif n dan r, dengan 𝑟≤𝑛, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek
pada satu waktu adalah
bersambng..........
